【数学】レードルで半分の量を計ってみたら

　以前、ラーメン屋（正確にはラーメン系の麺料理を提供するお店）でアルバイトをしていた時のお話です。

　そのお店の看板メニューを作るには、ラー油やタレをレードルで数杯注いでスープを作り、そこに茹でて湯切りした麺を盛り、刻みネギやらをトッピングすることになっていました。

　私が任されていたのはディナーの時間帯の店番（調理・接客等）とその後の閉店作業なのですが、時間がシビアな閉店作業が控えているにも関わらず、調理台の壁に並盛と大盛で２本のレードルをぶら下げておくのすら億劫でした。分量を計算するに、大盛の分量は並盛の１．５倍なのですから、並盛のレードル１本で十分なはずです。

　この店の看板メニューには、ラー油を並盛（20cc）、大盛（30cc）でそれぞれ１杯ずつ注ぐことになっているわけですが、大盛のオーダーが入ったとしても並盛用のレードルで１．５杯注げば必要十分だろうという話です。さらに言うと、ラー油を45cc必要とするメニューもありました。

　だから、並盛20ccのレードルで10ccと5ccが測れるようになりさえすれば、大盛用の30ccのレードルはお役御免なんですよね……。正確な値じゃなかったらどうするんだという話もありますけど、そもそも45ccのメニューだって大盛の30ccレードル１．５杯分として提供していたので今更そこを突かれてもしょうがありませんでしたし。

　どのキッチンにも、売り上げの計算やその場でのメモや張り紙のために、紙とペンくらいはあるものです。

　そこで、本当にお客さんが全く来なかったディナータイムに、並盛のレードルにおける０．５杯分とは、液面の高さがどれくらいになるのかを真面目に計算してみることにしたのでした。０．２５杯についても計算できれば万々歳です。

　ありがたいことに、お店のレードルはほぼ半球の形状をしていたので、その輪郭は

$x^2 + y^2 = 1$ 　ただし， $y \le 0$

としても良さそうでした。さらに計算を簡単にするために， $y$ 軸の正の方向に $1$ だけ平行移動して考えることにします。そのため，下図の通りになっています。

　液面の高さを $r \;\;( 0 \leq r \leq 1 )$ とし，その時にレードルに入っている液体の体積を $V(r)$ とおくことにします。すると，

$V(0) = 0, \quad V(1) = \frac{4}{3} \pi \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \pi$

となりますね。さて，あとは $0 \le r \le 1$ にかけて関数 $V(r)$ を定式化できれば勝ちです。特に， $V(r)$ は $y$ 軸に沿って回転させた回転体の体積であるため，赤線の長さ $\ell(s)$ さえわかれば

$V(r) = \int_{0}^{r} \ell(s)^2 \pi ds$

として計算することができます。（回転体の体積って結局，高さ $s$ における液面の面積 $\ell(s)^2 \pi$ を $s$ が $0$ から $r$ に至るまで重ねたものですから）

赤線の長さ $\ell(s)$ は，図のように直角三角形を見出すと，三平方の定理から

$(1 - s)^2 + \ell(s)^2 = 1$

であるため，

$\ell(s)^2 = 1 - (1 - s)^2 = - s^2 + 2 s$

と求めることができました。そのため，回転体の体積 $V(r)$ は，

$V(r) = \int_{0}^{r} (-s^2 + 2s)ds = \pi ( -\frac{r^3}{3} + r^2)$

と求められます。

レードル０．５杯分の体積は， $V(1) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi$ ですね。

そのため，

$\pi ( -\frac{r^3}{3} + r^2) = \frac{1}{3} \pi$

が成り立つ $r$ の値を $0$ から $1$ の範囲で求めればＯＫです。

計算すると

$r^3 - 3 r^2 + 1 = 0$

という簡単な形にもってくることができました。

とはいえ、因数分解するのは骨が折れそうです。そこで、本部との連絡用にお店に置かれていたiPadを起動し、Google検索で３次曲線 $y = x^3 - 3 x^2 + 1$ のグラフを描かせてみることにしました。この曲線が $0$ から $1$ までの範囲で $x$ 軸と交点を持っていればその座標が我々の求めていた $r$ の値です。検索窓に「y = x^3 - 3 x^2 + 1」と入力すると、この通り。